Решение задачи по графику скорости автомобиля

Решение задачи. На рисунке изображен график скорости автомобиля \(v(t)\) при его прямолинейном движении для \(0 \le t \le 16\), где \(t\) — время с момента старта, который состоит из отрезков прямых. Пусть \(B\) — расстояние, на которое удалился автомобиль за время движения от точки старта. Тогда для значения \(B\) верными являются выражения ... Выбрать не менее 2-х вариантов ответов. Для начала, давайте разберемся, что такое расстояние, на которое удалился автомобиль от точки старта. Это не пройденный путь, а именно перемещение. Перемещение определяется как интеграл от скорости по времени. \[B = \int_{0}^{16} v(t) dt\] Теперь посмотрим на график скорости \(v(t)\). На графике видно, что: 1. От \(t=0\) до \(t=6\), скорость \(v(t)\) положительна. 2. От \(t=6\) до \(t=12\), скорость \(v(t)\) отрицательна. 3. От \(t=12\) до \(t=16\), скорость \(v(t)\) положительна. Поскольку нам нужно найти перемещение, мы должны проинтегрировать функцию \(v(t)\) на всем интервале от \(0\) до \(16\). Интеграл можно разбить на сумму интегралов по участкам, где функция сохраняет знак или меняет его. \[B = \int_{0}^{6} v(t) dt + \int_{6}^{12} v(t) dt + \int_{12}^{16} v(t) dt\] Теперь рассмотрим предложенные варианты ответов. Вариант 1: \[B = \int_{0}^{16} v(t) dt\] Этот вариант является прямым определением перемещения и, следовательно, верен. Вариант 2: \[B = \int_{0}^{6} v(t) dt + \int_{6}^{12} v(t) dt + \int_{12}^{16} v(t) dt\] Этот вариант также верен, так как он представляет собой разбиение общего интеграла на сумму интегралов по подинтервалам, что математически корректно. Вариант 3: \[B = \int_{0}^{6} |v(t)| dt - \int_{6}^{12} |v(t)| dt + \int_{12}^{16} |v(t)| dt\] Давайте проанализируем этот вариант. На интервале \([0, 6]\), \(v(t) \ge 0\), поэтому \(|v(t)| = v(t)\). На интервале \([6, 12]\), \(v(t) \le 0\), поэтому \(|v(t)| = -v(t)\). На интервале \([12, 16]\), \(v(t) \ge 0\), поэтому \(|v(t)| = v(t)\). Подставим это в выражение: \[B = \int_{0}^{6} v(t) dt - \int_{6}^{12} (-v(t)) dt + \int_{12}^{16} v(t) dt\] \[B = \int_{0}^{6} v(t) dt + \int_{6}^{12} v(t) dt + \int_{12}^{16} v(t) dt\] Этот вариант также верен, так как он эквивалентен второму варианту. Вариант 4: \[B = \int_{0}^{6} v(t) dt - \int_{6}^{12} v(t) dt + \int_{12}^{16} v(t) dt\] Этот вариант неверен. На интервале \([6, 12]\), \(v(t)\) отрицательна. Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению положительного. То есть, \(- \int_{6}^{12} v(t) dt = - (\text{отрицательное число}) = \text{положительное число}\). Это не соответствует исходному интегралу, где мы просто прибавляем отрицательное значение интеграла. Вариант 5: \[B = \int_{0}^{6} |v(t)| dt + \int_{6}^{12} |v(t)| dt + \int_{12}^{16} |v(t)| dt\] Этот вариант представляет собой пройденный путь, а не перемещение. Пройденный путь всегда положителен и равен интегралу от модуля скорости. \[S = \int_{0}^{16} |v(t)| dt\] Это не то, что нам нужно, так как \(B\) — это расстояние, на которое удалился автомобиль от точки старта, то есть перемещение. Таким образом, верными являются варианты 1, 2 и 3. Поскольку требуется выбрать не менее 2-х вариантов, мы можем выбрать любые два или все три из них. Окончательный ответ: Верными являются следующие выражения: 1. \[B = \int_{0}^{16} v(t) dt\] 2. \[B = \int_{0}^{6} v(t) dt + \int_{6}^{12} v(t) dt + \int_{12}^{16} v(t) dt\] 3. \[B = \int_{0}^{6} |v(t)| dt - \int_{6}^{12} |v(t)| dt + \int_{12}^{16} |v(t)| dt\]