Решение интеграла ∫x dx/(x²+5)

Задание: Вычислить неопределенный интеграл. \[ \int \frac{x dx}{x^2 + 5} \] Решение: Для решения данного интеграла воспользуемся методом введения под знак дифференциала (или методом замены переменной). Заметим, что производная знаменателя \( (x^2 + 5)' = 2x \). В числителе у нас уже есть \( x \), поэтому мы можем легко преобразовать выражение. 1. Внесем \( x \) под знак дифференциала: \[ x dx = \frac{1}{2} d(x^2) \] Так как производная константы равна нулю, мы можем записать: \[ x dx = \frac{1}{2} d(x^2 + 5) \] 2. Подставим это в исходный интеграл: \[ \int \frac{x dx}{x^2 + 5} = \int \frac{\frac{1}{2} d(x^2 + 5)}{x^2 + 5} \] 3. Вынесем константу \( \frac{1}{2} \) за знак интеграла: \[ \frac{1}{2} \int \frac{d(x^2 + 5)}{x^2 + 5} \] 4. Данный интеграл является табличным видом \( \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C \). В нашем случае \( u = x^2 + 5 \). Поскольку \( x^2 + 5 \) всегда больше нуля, знак модуля можно заменить на скобки: \[ \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5) + C \] Ответ: \[ \int \frac{x dx}{x^2 + 5} = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5) + C \]