Решение интеграла ∫ arctg(x)/(1+x^2) dx

Задание: Вычислить неопределенный интеграл. \[ \int \frac{\text{arctg } x}{1 + x^2} dx \] Решение: Для решения данного интеграла применим метод замены переменной. Заметим, что производная функции \( \text{arctg } x \) в точности совпадает с выражением, стоящим в знаменателе. 1. Вспомним формулу производной: \[ (\text{arctg } x)' = \frac{1}{1 + x^2} \] 2. Сделаем замену переменной: Пусть \( t = \text{arctg } x \). Тогда дифференциал \( dt \) будет равен: \[ dt = (\text{arctg } x)' dx = \frac{1}{1 + x^2} dx \] 3. Подставим \( t \) и \( dt \) в исходный интеграл: \[ \int \frac{\text{arctg } x}{1 + x^2} dx = \int t \, dt \] 4. Вычислим полученный простой интеграл по формуле \( \int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C \): \[ \int t \, dt = \frac{t^2}{2} + C \] 5. Вернемся к исходной переменной \( x \), подставив вместо \( t \) выражение \( \text{arctg } x \): \[ \frac{(\text{arctg } x)^2}{2} + C \] Ответ: \[ \int \frac{\text{arctg } x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \text{arctg}^2 x + C \]