Решение Интеграла ∫x*cos(2x) dx

Задание: Вычислить неопределенный интеграл. \[ \int x \cdot \cos 2x \, dx \] Решение: Для решения данного интеграла применим метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] 1. Выберем части для замены: Пусть \( u = x \), тогда \( du = dx \). Пусть \( dv = \cos 2x \, dx \). 2. Найдем \( v \), проинтегрировав \( dv \): \[ v = \int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x \] 3. Подставим полученные значения в формулу интегрирования по частям: \[ \int x \cdot \cos 2x \, dx = x \cdot \left( \frac{1}{2} \sin 2x \right) - \int \frac{1}{2} \sin 2x \, dx \] 4. Упростим выражение и вычислим оставшийся интеграл: \[ \frac{x}{2} \sin 2x - \frac{1}{2} \int \sin 2x \, dx \] Так как \( \int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x \), получаем: \[ \frac{x}{2} \sin 2x - \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) + C \] 5. Окончательно упрощаем ответ: \[ \frac{x}{2} \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + C \] Ответ: \[ \int x \cdot \cos 2x \, dx = \frac{x}{2} \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + C \]