Решение Дифференциального Уравнения y' + y/x = x + 1

Задание: Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка. \[ y' + \frac{y}{x} = x + 1 \] Решение: Для решения воспользуемся методом Бернулли, представив функцию в виде произведения двух функций: \( y = u \cdot v \). Тогда \( y' = u'v + uv' \). 1. Подставим это в исходное уравнение: \[ u'v + uv' + \frac{uv}{x} = x + 1 \] \[ u'v + u \left( v' + \frac{v}{x} \right) = x + 1 \] 2. Найдем функцию \( v \), приравняв выражение в скобках к нулю: \[ v' + \frac{v}{x} = 0 \implies \frac{dv}{dx} = -\frac{v}{x} \implies \frac{dv}{v} = -\frac{dx}{x} \] Интегрируя обе части, получаем: \[ \ln|v| = -\ln|x| \implies v = \frac{1}{x} \] 3. Подставим найденное \( v \) в оставшуюся часть уравнения: \[ u' \cdot \frac{1}{x} = x + 1 \] \[ u' = x^2 + x \] \[ \frac{du}{dx} = x^2 + x \implies du = (x^2 + x) dx \] 4. Найдем \( u \), проинтегрировав правую часть: \[ u = \int (x^2 + x) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C \] 5. Запишем общее решение \( y = u \cdot v \): \[ y = \left( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C \right) \cdot \frac{1}{x} \] \[ y = \frac{x^2}{3} + \frac{x}{2} + \frac{C}{x} \] Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами ответов, видим, что он соответствует третьему варианту. Ответ: \[ y = \frac{x^2}{3} + \frac{x}{2} + \frac{C}{x} \]