Определение и Решение Линейных Дифференциальных Уравнений

Решение задачи. Нам нужно указать линейные дифференциальные уравнения. Определение линейного дифференциального уравнения первого порядка: Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно привести к виду: \[y' + p(x)y = q(x)\] где \(p(x)\) и \(q(x)\) — непрерывные функции от \(x\). Важно, что \(y\) и \(y'\) входят в уравнение только в первой степени, и нет произведений \(y \cdot y'\) или функций от \(y\) (например, \(e^y\), \(\sin y\), \(y^2\)). Рассмотрим каждое из предложенных уравнений. 1. \[y' = e^{\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}\] В этом уравнении присутствует член \(e^{\frac{y}{x}}\). Это функция от \(y\), которая не является линейной по \(y\). Также есть член \(\frac{y}{x}\), но наличие \(e^{\frac{y}{x}}\) делает уравнение нелинейным. Следовательно, это уравнение не является линейным. 2. \[\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = x\] Это уравнение можно переписать как: \[y' - \frac{1}{x}y = x\] Здесь \(p(x) = -\frac{1}{x}\) и \(q(x) = x\). Оба являются функциями от \(x\). \(y\) и \(y'\) входят в первой степени. Следовательно, это уравнение является линейным. 3. \[y' = - \frac{x+y}{x}\] Это уравнение можно переписать как: \[y' = - \frac{x}{x} - \frac{y}{x}\] \[y' = -1 - \frac{1}{x}y\] Перенесем член с \(y\) в левую часть: \[y' + \frac{1}{x}y = -1\] Здесь \(p(x) = \frac{1}{x}\) и \(q(x) = -1\). Оба являются функциями от \(x\). \(y\) и \(y'\) входят в первой степени. Следовательно, это уравнение является линейным. 4. \[xy' + y - e^x = 0\] Перенесем \(e^x\) в правую часть: \[xy' + y = e^x\] Разделим все члены на \(x\) (при условии \(x \ne 0\)): \[y' + \frac{1}{x}y = \frac{e^x}{x}\] Здесь \(p(x) = \frac{1}{x}\) и \(q(x) = \frac{e^x}{x}\). Оба являются функциями от \(x\). \(y\) и \(y'\) входят в первой степени. Следовательно, это уравнение является линейным. Таким образом, линейными дифференциальными уравнениями являются уравнения под номерами 2, 3 и 4. Окончательный ответ: Линейными дифференциальными уравнениями являются: * \[\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = x\] * \[y' = - \frac{x+y}{x}\] * \[xy' + y - e^x = 0\]