Решение Однородного Дифференциального Уравнения y'=y/x+x/y

Задание: Найти общее решение однородного дифференциального уравнения первого порядка. \[ y' = \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \] Решение: Данное уравнение является однородным, так как правую часть можно представить как функцию от отношения \( \frac{y}{x} \). Для решения используем замену: \[ y = t \cdot x \implies y' = t'x + t \] 1. Подставим замену в исходное уравнение: \[ t'x + t = \frac{tx}{x} + \frac{x}{tx} \] \[ t'x + t = t + \frac{1}{t} \] 2. Упростим уравнение, вычитая \( t \) из обеих частей: \[ t'x = \frac{1}{t} \] 3. Запишем производную \( t' \) как \( \frac{dt}{dx} \) и разделим переменные: \[ x \frac{dt}{dx} = \frac{1}{t} \] \[ t \, dt = \frac{dx}{x} \] 4. Проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int t \, dt = \int \frac{dx}{x} \] \[ \frac{t^2}{2} = \ln|x| + C \] 5. Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби (константу \( 2C \) обозначим просто как \( C \)): \[ t^2 = 2(\ln|x| + C) \] 6. Вернемся к исходной переменной, подставив \( t = \frac{y}{x} \): \[ \left( \frac{y}{x} \right)^2 = 2(\ln|x| + C) \] \[ \frac{y^2}{x^2} = 2(\ln|x| + C) \] 7. Выразим \( y^2 \): \[ y^2 = 2x^2(\ln|x| + C) \] Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует второму варианту. Ответ: \[ y^2 = 2x^2(\ln|x| + C) \]