Решение дифференциального уравнения y' - x^2 y = 6x^3

Для решения данной задачи проанализируем вид дифференциального уравнения. Дано уравнение: \[ y' - x^2 y = 6x^3 \] Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Общий вид такого уравнения: \[ y' + P(x)y = Q(x) \] В нашем случае \( P(x) = -x^2 \) и \( Q(x) = 6x^3 \). Линейные дифференциальные уравнения первого порядка традиционно решаются методом Бернулли, который заключается в представлении искомой функции \( y \) в виде произведения двух других функций. Разберем предложенные варианты: 1) Подстановкой \( y = uv \). Это и есть метод Бернулли, который применяется для решения линейных уравнений. Функция \( y \) заменяется произведением двух функций \( u(x) \) и \( v(x) \). 2) Подстановкой \( y = ux \). Данная подстановка обычно используется для решения однородных дифференциальных уравнений вида \( y' = f(y/x) \). Наше уравнение таковым не является. 3) Подстановкой \( u = y^{1-n} \). Эта подстановка используется для сведения уравнения Бернулли \( y' + P(x)y = Q(x)y^n \) к линейному. В нашем уравнении \( n = 0 \), оно уже линейное. 4) Разделением переменных. В данном уравнении переменные \( x \) и \( y \) нельзя разделить непосредственно в исходном виде из-за наличия слагаемого \( 6x^3 \). Таким образом, правильным методом решения для данного типа уравнения является подстановка \( y = uv \). Ответ: 1 (подстановкой \( y = uv \)).