Решение дифференциального уравнения y' = y/x + x/y

Решение дифференциального уравнения: \[ y' = \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \] Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Для его решения применим замену: \( y = u \cdot x \), тогда \( y' = u'x + u \). Подставим замену в исходное уравнение: \[ u'x + u = \frac{ux}{x} + \frac{x}{ux} \] \[ u'x + u = u + \frac{1}{u} \] Вычтем \( u \) из обеих частей уравнения: \[ u'x = \frac{1}{u} \] Вспомним, что \( u' = \frac{du}{dx} \): \[ x \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \] Разделим переменные (перенесем все с \( u \) в одну сторону, а с \( x \) в другую): \[ u \, du = \frac{dx}{x} \] Проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int u \, du = \int \frac{dx}{x} \] \[ \frac{u^2}{2} = \ln|x| + C \] Умножим все уравнение на 2: \[ u^2 = 2(\ln|x| + C) \] Вернемся к исходной переменной, так как \( u = \frac{y}{x} \): \[ \left(\frac{y}{x}\right)^2 = 2(\ln|x| + C) \] \[ \frac{y^2}{x^2} = 2(\ln|x| + C) \] Выразим \( y^2 \): \[ y^2 = 2x^2(\ln|x| + C) \] Ответ: второй вариант из списка. \[ y^2 = 2x^2(\ln|x| + C) \]