Решение задачи Коши: y' = -y/x + x^2, y(1) = 1

Решение задачи Коши. Дано дифференциальное уравнение первого порядка: \[ y' = -\frac{y}{x} + x^2 \] с начальным условием: \[ y(1) = 1 \] Требуется найти значение решения при \( x = 2 \). 1. Приведем уравнение к стандартному виду линейного неоднородного уравнения \( y' + P(x)y = Q(x) \): \[ y' + \frac{1}{x}y = x^2 \] 2. Решим уравнение методом интегрирующего множителя. Найдем функцию \( \mu(x) \): \[ \mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x \] 3. Умножим обе части исходного уравнения на \( x \): \[ x \cdot y' + y = x^3 \] Левая часть представляет собой производную произведения \( (x \cdot y)' \): \[ (xy)' = x^3 \] 4. Интегрируем обе части по \( x \): \[ xy = \int x^3 dx \] \[ xy = \frac{x^4}{4} + C \] Отсюда общее решение: \[ y = \frac{x^3}{4} + \frac{C}{x} \] 5. Используем начальное условие \( y(1) = 1 \), чтобы найти константу \( C \): \[ 1 = \frac{1^3}{4} + \frac{C}{1} \] \[ 1 = 0,25 + C \] \[ C = 0,75 = \frac{3}{4} \] 6. Записываем частное решение задачи Коши: \[ y = \frac{x^3}{4} + \frac{3}{4x} \] 7. Вычисляем значение функции при \( x = 2 \): \[ y(2) = \frac{2^3}{4} + \frac{3}{4 \cdot 2} \] \[ y(2) = \frac{8}{4} + \frac{3}{8} \] \[ y(2) = 2 + 0,375 = 2,375 \] Ответ: 2,375