Решение:

Для решения задачи на нахождение градиента функции в точке, воспользуемся определением градиента. Градиент функции \( z = f(x, y) \) — это вектор, компонентами которого являются частные производные этой функции по соответствующим переменным: \[ \text{grad } z = \left\{ \frac{\partial z}{\partial x}; \frac{\partial z}{\partial y} \right\} \] Дана функция: \[ z = x^2 + 2y^2 - 5 \] 1. Найдем частную производную по \( x \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = (x^2 + 2y^2 - 5)'_x = 2x \] 2. Найдем частную производную по \( y \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = (x^2 + 2y^2 - 5)'_y = 4y \] 3. Вычислим значения частных производных в заданной точке \( M(2, -1) \), подставив \( x = 2 \) и \( y = -1 \): \[ \frac{\partial z}{\partial x}(M) = 2 \cdot 2 = 4 \] \[ \frac{\partial z}{\partial y}(M) = 4 \cdot (-1) = -4 \] Таким образом, градиент функции в точке \( M \) равен: \[ \text{grad } z(M) = \{4; -4\} \] Сверяем с предложенными вариантами ответов: 1. {4; -4} 2. {2; -4} 3. {1; -1} 4. {-4; 4} Правильный ответ находится под номером 1. Ответ: 1.