Решение:

Для решения данной задачи необходимо вычислить двойной интеграл по прямоугольной области \( D \). Дано: \[ \iint_D \frac{y}{x} dx dy \] Область \( D = \{ (x, y) : 1 \le x \le e, 4 \le y \le 6 \} \). Так как пределы интегрирования по обеим переменным являются константами, а подвыражение можно представить в виде произведения функций от \( x \) и от \( y \), двойной интеграл распадается на произведение двух определенных интегралов: \[ \iint_D \frac{y}{x} dx dy = \int_1^e \frac{1}{x} dx \cdot \int_4^6 y dy \] 1. Вычислим первый интеграл по переменной \( x \): \[ \int_1^e \frac{1}{x} dx = \ln|x| \Big|_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1 \] 2. Вычислим второй интеграл по переменной \( y \): \[ \int_4^6 y dy = \frac{y^2}{2} \Big|_4^6 = \frac{6^2}{2} - \frac{4^2}{2} = \frac{36}{2} - \frac{16}{2} = 18 - 8 = 10 \] 3. Перемножим полученные результаты: \[ 1 \cdot 10 = 10 \] Сверяем с предложенными вариантами: 1. 10 2. 5 3. 1 4. 12 Правильный ответ находится под номером 1. Ответ: 1.