Решение Дифференциального Уравнения y'' - 5y' = 0

Задание: Найти общее решение дифференциального уравнения \( y'' - 5y' = 0 \). Решение: 1. Составим характеристическое уравнение для данного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Для этого заменим \( y'' \) на \( k^2 \), а \( y' \) на \( k \): \[ k^2 - 5k = 0 \] 2. Решим полученное квадратное уравнение, вынеся \( k \) за скобки: \[ k(k - 5) = 0 \] Отсюда получаем два корня: \[ k_1 = 0 \] \[ k_2 = 5 \] 3. Так как корни характеристического уравнения действительные и различные (\( k_1 \neq k_2 \)), общее решение дифференциального уравнения записывается в виде: \[ y = C_1 e^{k_1 x} + C_2 e^{k_2 x} \] 4. Подставим найденные значения \( k_1 \) и \( k_2 \): \[ y = C_1 e^{0 \cdot x} + C_2 e^{5x} \] Поскольку \( e^0 = 1 \), выражение упрощается: \[ y = C_1 \cdot 1 + C_2 e^{5x} \] \[ y = C_1 + C_2 e^{5x} \] Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами ответов, видим, что он соответствует варианту под номером 3 (с точностью до перестановки констант \( C_1 \) и \( C_2 \)). Ответ: 3) \( y = C_1 e^{5x} + C_2 \)