Решение Двойного Интеграла ∫dx∫dy (x - y + 1)

Решение задачи на вычисление двойного интеграла. Дано выражение: \[ I = \int_{0}^{1} dx \int_{x}^{2x} (x - y + 1) dy \] 1. Сначала вычислим внутренний интеграл по переменной \( y \), считая \( x \) константой: \[ \int_{x}^{2x} (x - y + 1) dy = \left[ xy - \frac{y^2}{2} + y \right]_{x}^{2x} \] 2. Подставим верхний и нижний пределы интегрирования вместо \( y \): Верхний предел (\( y = 2x \)): \[ x(2x) - \frac{(2x)^2}{2} + 2x = 2x^2 - \frac{4x^2}{2} + 2x = 2x^2 - 2x^2 + 2x = 2x \] Нижний предел (\( y = x \)): \[ x(x) - \frac{x^2}{2} + x = x^2 - 0,5x^2 + x = 0,5x^2 + x \] 3. Найдем разность значений: \[ 2x - (0,5x^2 + x) = 2x - 0,5x^2 - x = x - 0,5x^2 \] 4. Теперь вычислим внешний интеграл по переменной \( x \): \[ I = \int_{0}^{1} (x - 0,5x^2) dx \] \[ I = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{0,5x^3}{3} \right]_{0}^{1} \] \[ I = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{1} \] 5. Подставим пределы интегрирования: \[ I = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{6} \right) - 0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \] Приведем к общему знаменателю: \[ I = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] В списке вариантов ответа: 1. \( \frac{1}{3} \) 2. 1 3. 3 4. 5 Правильный ответ соответствует варианту номер 1. Ответ: 1