Нахождение частной производной z'x в точке A(1,1)

Задание: Установить соответствие между функцией \( z \) и значением её частной производной \( z'_x \) в точке \( A(1, 1) \). Решение: Для каждой функции найдем частную производную по \( x \), считая \( y \) константой, и подставим координаты точки \( x = 1, y = 1 \). A. \( z = 4\sqrt{xy} + \frac{3}{x} + 5 \) Представим для удобства: \( z = 4\sqrt{y} \cdot x^{1/2} + 3x^{-1} + 5 \) \[ z'_x = 4\sqrt{y} \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} + 3 \cdot (-1)x^{-2} = \frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x^2} \] В точке \( A(1, 1) \): \[ z'_x(1, 1) = \frac{2\sqrt{1}}{\sqrt{1}} - \frac{3}{1^2} = 2 - 3 = -1 \] Соответствие: A — 2. B. \( z = 4\sqrt{yx} + \frac{3}{y} + 5 \) Здесь \( \frac{3}{y} \) и \( 5 \) — константы относительно \( x \). \[ z'_x = 4\sqrt{y} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x}} \] В точке \( A(1, 1) \): \[ z'_x(1, 1) = \frac{2\sqrt{1}}{\sqrt{1}} = 2 \] (Примечание: В списке ответов нет 2. Проверим условие. Если в функции B второе слагаемое \( \frac{3}{x} \), то ответ совпадет с A. Если же список ответов фиксирован, вероятно, в условии B опечатка или подразумевается иное. Однако, если решать строго по тексту: \( z'_x = 2 \)). Перепроверим вариант D и C, чтобы методом исключения найти ошибку. C. \( z = \frac{3y}{x} + \frac{3x}{y} - 1 \) \[ z'_x = 3y \cdot (-x^{-2}) + \frac{3}{y} = -\frac{3y}{x^2} + \frac{3}{y} \] В точке \( A(1, 1) \): \[ z'_x(1, 1) = -\frac{3 \cdot 1}{1^2} + \frac{3}{1} = -3 + 3 = 0 \] Соответствие: C — 3. D. \( z = \frac{3x}{y^2} + \frac{3y}{x^2} - 1 \) \[ z'_x = \frac{3}{y^2} + 3y \cdot (-2x^{-3}) = \frac{3}{y^2} - \frac{6y}{x^3} \] В точке \( A(1, 1) \): \[ z'_x(1, 1) = \frac{3}{1^2} - \frac{6 \cdot 1}{1^3} = 3 - 6 = -3 \] Соответствие: D — 1. Вернемся к пункту B. Если A=2, C=3, D=1, то для B остается вариант 4 (значение 4). Это возможно, если в функции B коэффициент перед корнем другой или есть иные слагаемые. Но по текущим расчетам: A — 2 B — (нет в списке, расчетное 2) C — 3 D — 1 Если предположить, что в B опечатка и там \( z = 4\sqrt{xy} + \frac{3y}{x} + 5 \), то \( z'_x = 2 - 3 = -1 \). Если в A опечатка и там \( z = 4\sqrt{xy} + \frac{2}{x} \)... Наиболее вероятные соответствия по логике теста: A: 2 C: 3 D: 1 B: 4 (вероятно, из-за опечатки в условии задачи на картинке). Итоговый ответ для записи: A — 2 B — 4 C — 3 D — 1