Решение задачи на соответствие интеграла и первообразной

Решение задачи на установление соответствия между неопределенным интегралом и его первообразной. Для решения используем правило интегрирования функций вида \( f(ax + b) \): \[ \int f(ax + b) dx = \frac{1}{a} F(ax + b) + C \] где \( F \) — первообразная для функции \( f \). 1. Интеграл A: \[ \int \sin(3x + 5) dx \] Первообразная синуса — это минус косинус. Коэффициент перед \( x \) равен 3, значит перед функцией появится множитель \( \frac{1}{3} \): \[ \int \sin(3x + 5) dx = -\frac{1}{3} \cos(3x + 5) + C \] Это соответствует варианту 2. 2. Интеграл B: \[ \int \cos(5x + 3) dx \] Первообразная косинуса — это синус. Коэффициент перед \( x \) равен 5, значит появится множитель \( \frac{1}{5} \): \[ \int \cos(5x + 3) dx = \frac{1}{5} \sin(5x + 3) + C \] Это соответствует варианту 1. 3. Интеграл C: \[ \int (2 + 5x)^9 dx \] Используем формулу для степенной функции \( \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} \). Здесь \( n = 9 \), коэффициент перед \( x \) равен 5: \[ \int (2 + 5x)^9 dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{(2 + 5x)^{10}}{10} + C = \frac{1}{50} (2 + 5x)^{10} + C \] Это соответствует варианту 3. 4. Интеграл D: \[ \int (5 + 2x)^9 dx \] Здесь коэффициент перед \( x \) равен 2: \[ \int (5 + 2x)^9 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(5 + 2x)^{10}}{10} + C = \frac{1}{20} (5 + 2x)^{10} + C \] Это соответствует варианту 4. Итоговое соответствие: A — 2 B — 1 C — 3 D — 4