Решение криволинейного интеграла ∫x dl при y=x^2

Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода \(\int_{AB} x dl\), где дуга \(AB\) задана уравнением \(y = x^2\) при \(1 \le x \le 2\). Решение: 1. Для вычисления криволинейного интеграла по плоской кривой, заданной явным уравнением \(y = f(x)\), используется формула: \[ \int_{AB} f(x, y) dl = \int_{a}^{b} f(x, f(x)) \sqrt{1 + (y')^2} dx \] 2. Найдем производную функции \(y = x^2\): \[ y' = (x^2)' = 2x \] 3. Вычислим дифференциал длины дуги \(dl\): \[ dl = \sqrt{1 + (y')^2} dx = \sqrt{1 + (2x)^2} dx = \sqrt{1 + 4x^2} dx \] 4. Подставим все данные в интеграл: \[ I = \int_{1}^{2} x \sqrt{1 + 4x^2} dx \] 5. Для решения данного интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть \(u = 1 + 4x^2\). Тогда найдем дифференциал \(du\): \[ du = (1 + 4x^2)' dx = 8x dx \implies x dx = \frac{1}{8} du \] 6. Определим новые пределы интегрирования: Если \(x = 1\), то \(u = 1 + 4(1)^2 = 5\). Если \(x = 2\), то \(u = 1 + 4(2)^2 = 17\). 7. Выполним замену в интеграле: \[ I = \int_{5}^{17} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{8} du = \frac{1}{8} \int_{5}^{17} u^{1/2} du \] 8. Вычислим первообразную: \[ I = \frac{1}{8} \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_{5}^{17} = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \left[ u\sqrt{u} \right]_{5}^{17} = \frac{1}{12} (17\sqrt{17} - 5\sqrt{5}) \] Ответ: Полученный результат соответствует варианту номер 1. \[ \frac{1}{12}(17\sqrt{17} - 5\sqrt{5}) \]