Решение задачи на интервал сходимости степенного ряда

Решение задачи на нахождение интервала сходимости степенного ряда. Дан степенной ряд: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n x^n}{3^n (n+1)} \] 1. Выпишем коэффициент ряда \( a_n \): \[ a_n = \frac{n}{3^n (n+1)} \] 2. Найдем радиус сходимости \( R \) по формуле Даламбера: \[ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \] Выразим \( a_{n+1} \): \[ a_{n+1} = \frac{n+1}{3^{n+1} (n+2)} \] 3. Вычислим предел отношения: \[ R = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{3^n (n+1)} \cdot \frac{3^{n+1} (n+2)}{n+1} \right) \] \[ R = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n \cdot 3^n \cdot 3 \cdot (n+2)}{3^n \cdot (n+1)^2} \right) \] \[ R = 3 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n}{n^2 + 2n + 1} \] Так как степени числителя и знаменателя равны, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях: \[ R = 3 \cdot 1 = 3 \] 4. Интервал сходимости определяется неравенством \( |x| < R \), то есть \( |x| < 3 \). Это соответствует интервалу: \[ (-3; 3) \] 5. Проверим варианты ответов на картинке: - \( (-\infty; +\infty) \) - \( (-4; 4) \) - \( (-3; 3) \) - \( (4; 6) \) Правильный ответ: (-3; 3). Ответ: (-3; 3)