Решение задачи: Интервал сходимости степенного ряда ∑(x^n)/(n*4^n)

Задание: Найти интервал сходимости степенного ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n 4^n}\). Решение: 1. Данный ряд является степенным рядом вида \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n\), где общий член коэффициентов ряда равен: \[ a_n = \frac{1}{n 4^n} \] 2. Для нахождения радиуса сходимости \(R\) воспользуемся формулой Даламбера: \[ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \] 3. Найдем коэффициент \(a_{n+1}\): \[ a_{n+1} = \frac{1}{(n+1) 4^{n+1}} \] 4. Подставим коэффициенты в предел: \[ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{1}{n 4^n}}{\frac{1}{(n+1) 4^{n+1}}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) 4^{n+1}}{n 4^n} \] 5. Упростим выражение под знаком предела: \[ R = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) \cdot 4^n \cdot 4}{n \cdot 4^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{4(n+1)}{n} = 4 \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) = 4 \cdot 1 = 4 \] 6. Радиус сходимости \(R = 4\). Поскольку центр ряда находится в точке \(x_0 = 0\), интервал сходимости определяется неравенством \(|x| < R\), то есть: \[ -4 < x < 4 \] Или в виде интервала: \((-4; 4)\). Ответ: Интервал сходимости равен (-4; 4). (В списке вариантов это второй вариант).