Решение Интеграла ∫(x²+5x+1)dx

Для решения данной задачи воспользуемся основными правилами интегрирования и таблицей первообразных. Требуется найти неопределенный интеграл: \[ \int (x^2 + 5x + 1) dx \] Используем свойство линейности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов): \[ \int x^2 dx + \int 5x dx + \int 1 dx \] Применим табличную формулу для степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \): 1. Для первого слагаемого (\( n=2 \)): \[ \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} \] 2. Для второго слагаемого (\( n=1 \)): \[ \int 5x dx = 5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{5x^2}{2} \] 3. Для третьего слагаемого (константа): \[ \int 1 dx = x \] Складываем полученные результаты и добавляем произвольную постоянную \( C \): \[ \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + x + C \] Сравним полученный результат с предложенными вариантами ответов: 1. \( 2x + 5 + C \) (это производная, а не интеграл) 2. \( \frac{x^2}{2} + 10x^2 + 1 + C \) 3. \( x^3 + 5x^2 + C \) 4. \( \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + x + C \) Правильный ответ находится под номером 4. Ответ: 4.