Решение интеграла ∫(x^2 + 10x + 1) dx

Решение задачи на нахождение неопределенного интеграла. Дано выражение: \[ \int (x^2 + 10x + 1) dx \] Для решения воспользуемся свойствами линейности интеграла и основной формулой интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \). 1. Разложим интеграл на сумму трех интегралов: \[ \int x^2 dx + \int 10x dx + \int 1 dx \] 2. Вычислим каждый интеграл по отдельности: - Для первого слагаемого (\( n=2 \)): \[ \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} \] - Для второго слагаемого (\( n=1 \)): \[ \int 10x dx = 10 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 10 \cdot \frac{x^2}{2} = 5x^2 \] - Для третьего слагаемого (интеграл от константы): \[ \int 1 dx = x \] 3. Соберем все части вместе и добавим произвольную постоянную \( C \): \[ \frac{x^3}{3} + 5x^2 + x + C \] Сравним полученный результат с вариантами ответов на картинке: 1. \( x^3 + 10x^2 + x + C \) 2. \( \frac{x^3}{3} + 5x^2 + x + C \) 3. \( x^2 + 10 + C \) 4. \( 2x^3 + 10x^2 + x + C \) Правильный ответ соответствует второму варианту. Ответ: \( \frac{x^3}{3} + 5x^2 + x + C \)