Решение интеграла ∫(x²+5x+1)dx

Задание: Найти неопределенный интеграл \(\int (x^2 + 5x + 1) dx\). Решение: 1. Используем свойство линейности неопределенного интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов): \[ \int (x^2 + 5x + 1) dx = \int x^2 dx + \int 5x dx + \int 1 dx \] 2. Применим основную формулу интегрирования степенной функции \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\): - Для первого слагаемого (\(n=2\)): \[ \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} \] - Для второго слагаемого (\(n=1\)), вынося константу за знак интеграла: \[ \int 5x dx = 5 \int x^1 dx = 5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{5x^2}{2} \] - Для третьего слагаемого (интеграл от константы): \[ \int 1 dx = x \] 3. Собираем все части вместе и добавляем произвольную постоянную \(C\): \[ \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + x + C \] Ответ: Полученный результат соответствует первому варианту в списке. \[ \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + x + C \]