Нахождение рядов с пределом общего члена, стремящимся к нулю

Решение задачи. Нам нужно указать ряды, для которых справедливо утверждение \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\). Это необходимое условие сходимости ряда. Если предел общего члена ряда не равен нулю, то ряд расходится. Если предел равен нулю, то ряд может как сходиться, так и расходиться. Рассмотрим каждый ряд по отдельности и найдем предел его общего члена при \(n \to \infty\). 1. Ряд: \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\] Общий член ряда: \(a_n = \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\) Найдем предел: \[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\] При \(n \to \infty\), \(n^2+n\) ведет себя как \(n^2\). \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}} = \frac{1}{\infty \cdot \sqrt{1+0}} = \frac{1}{\infty} = 0\] Утверждение \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\) справедливо для этого ряда. 2. Ряд: \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(3n-1)^2}\] Общий член ряда: \(a_n = \frac{1}{(3n-1)^2}\) Найдем предел: \[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(3n-1)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{9n^2 - 6n + 1}\] При \(n \to \infty\), знаменатель стремится к бесконечности. \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{9n^2 - 6n + 1} = \frac{1}{\infty} = 0\] Утверждение \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\) справедливо для этого ряда. 3. Ряд: \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \left(\frac{2}{5}\right)^n\] Общий член ряда: \(a_n = \frac{1}{n} \left(\frac{2}{5}\right)^n\) Найдем предел: \[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left(\frac{2}{5}\right)^n\] Мы знаем, что \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\) и \(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{5}\right)^n = 0\), так как основание степени \(|\frac{2}{5}| < 1\). Произведение двух величин, стремящихся к нулю, также стремится к нулю. \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left(\frac{2}{5}\right)^n = 0 \cdot 0 = 0\] Утверждение \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\) справедливо для этого ряда. 4. Ряд: \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+4}{n^2-8}\] Общий член ряда: \(a_n = \frac{n+4}{n^2-8}\) Найдем предел: \[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n+4}{n^2-8}\] Для нахождения предела рациональной функции при \(n \to \infty\), делим числитель и знаменатель на старшую степень \(n\) в знаменателе, то есть на \(n^2\): \[\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n^2}+\frac{4}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}-\frac{8}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}}{1-\frac{8}{n^2}} = \frac{0+0}{1-0} = \frac{0}{1} = 0\] Утверждение \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\) справедливо для этого ряда. 5. Ряд: \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+4}{2n+3}\] Общий член ряда: \(a_n = \frac{n+4}{2n+3}\) Найдем предел: \[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n+4}{2n+3}\] Для нахождения предела рациональной функции при \(n \to \infty\), делим числитель и знаменатель на старшую степень \(n\), то есть на \(n\): \[\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n}+\frac{4}{n}}{\frac{2n}{n}+\frac{3}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{4}{n}}{2+\frac{3}{n}} = \frac{1+0}{2+0} = \frac{1}{2}\] В этом случае \(\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{2} \ne 0\). Утверждение \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\) не справедливо для этого ряда. Таким образом, утверждение \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\) справедливо для рядов 1, 2, 3 и 4. Окончательный ответ: Ряды, для которых справедливо утверждение \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\), это: * \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\] * \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(3n-1)^2}\] * \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \left(\frac{2}{5}\right)^n\] * \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+4}{n^2-8}\]