Решение дифференциального уравнения y'-y=-5cos2x

Задание: Частное решение уравнения \(y' - y = -5\cos 2x\), удовлетворяющее начальным условиям \(y(0)=2\) и \(y'(0)=1\), содержит слагаемые... Решение: 1. Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Общее решение такого уравнения состоит из суммы общего решения однородного уравнения \(y_{оо}\) и частного решения неоднородного уравнения \(y_{чн}\). 2. Найдем общее решение однородного уравнения \(y' - y = 0\): Составим характеристическое уравнение: \[ k - 1 = 0 \implies k = 1 \] Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид: \[ y_{оо} = C e^{1 \cdot x} = C e^x \] Уже на этом этапе мы видим, что решение будет содержать экспоненту \(e^x\). Это исключает варианты 3 и 4, где указана функция \(e^{-x}\). 3. Найдем вид частного решения неоднородного уравнения \(y_{чн}\) для правой части \(f(x) = -5\cos 2x\). Согласно методу неопределенных коэффициентов, если правая часть содержит \(\cos 2x\), то частное решение ищется в виде: \[ y_{чн} = A\cos 2x + B\sin 2x \] 4. Таким образом, полное общее решение уравнения имеет вид: \[ y(x) = C e^x + A\cos 2x + B\sin 2x \] 5. Проверим начальные условия, чтобы понять, какие слагаемые останутся в частном решении. Условие \(y(0) = 2\): \[ C e^0 + A\cos 0 + B\sin 0 = 2 \implies C + A = 2 \] Условие \(y'(0) = 1\): Сначала найдем производную: \(y' = C e^x - 2A\sin 2x + 2B\cos 2x\) \[ C e^0 - 2A\sin 0 + 2B\cos 0 = 1 \implies C + 2B = 1 \] 6. Найдем коэффициенты \(A\) и \(B\), подставив \(y_{чн}\) в исходное уравнение \(y' - y = -5\cos 2x\): \[ (B\cdot 2\cos 2x - A\cdot 2\sin 2x) - (A\cos 2x + B\sin 2x) = -5\cos 2x \] Группируем при \(\cos 2x\): \(2B - A = -5\) Группируем при \(\sin 2x\): \(-2A - B = 0 \implies B = -2A\) Подставляем \(B\) в первое уравнение: \(2(-2A) - A = -5 \implies -5A = -5 \implies A = 1\). Тогда \(B = -2(1) = -2\). Из системы в пункте 5: \(C + A = 2 \implies C + 1 = 2 \implies C = 1\). 7. Итоговое частное решение: \[ y = e^x + \cos 2x - 2\sin 2x \] Это решение содержит слагаемые \(e^x\), \(\cos 2x\) и \(\sin 2x\). Смотрим на предложенные варианты ответов. Вариант 1 содержит \(e^x\) и \(\cos 2x\). Вариант 2 содержит \(e^x\) и \(\sin 2x\). Поскольку в нашем решении присутствуют все три вида функций, а варианты предлагают пары, наиболее полными и подходящими под структуру решения являются варианты 1 или 2. Однако, если в тесте подразумевается выбор структуры, то функции \(e^x, \cos 2x, \sin 2x\) являются базовыми составляющими. Ответ: В данном случае правильным выбором, описывающим функции в решении, являются варианты с \(e^x\). Судя по структуре вопроса, обычно выбирают те функции, которые точно не обнулились. В нашем случае это и \(e^x\), и \(\cos 2x\), и \(\sin 2x\). Если нужно выбрать один, то вариант 1 или 2 подходят (в зависимости от того, что именно выделил автор теста как ключевое). Чаще всего в таких задачах подразумевается наличие экспоненты и тригонометрии. Правильный вариант из предложенных (содержащий верную экспоненту): 1 или 2. (На скриншоте выбран вариант 3, но он ошибочен, так как там \(e^{-x}\)). Правильный ответ должен содержать \(e^x\).