Решение задачи на стационарные точки функции z = x^2 + xy + y^2 + 3y + 4

Решение задачи на нахождение стационарной точки функции двух переменных. Дана функция: \[ z = x^2 + xy + y^2 + 3y + 4 \] Стационарные точки функции находятся из условия равенства нулю её частных производных первого порядка. Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} z'_x = 0 \\ z'_y = 0 \end{cases} \] 1. Найдем частную производную по \( x \) (считая \( y \) константой): \[ z'_x = (x^2 + xy + y^2 + 3y + 4)'_x = 2x + y \] 2. Найдем частную производную по \( y \) (считая \( x \) константой): \[ z'_y = (x^2 + xy + y^2 + 3y + 4)'_y = x + 2y + 3 \] 3. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 2x + y = 0 \\ x + 2y + 3 = 0 \end{cases} \] Из первого уравнения выразим \( y \): \[ y = -2x \] Подставим полученное выражение во второе уравнение: \[ x + 2(-2x) + 3 = 0 \] \[ x - 4x + 3 = 0 \] \[ -3x = -3 \] \[ x = 1 \] Теперь найдем \( y \): \[ y = -2 \cdot 1 = -2 \] Таким образом, стационарная точка имеет координаты \( (1; -2) \). Сравним с вариантами ответов: 1. (1; 2) 2. (1; -2) 3. (2; -1) 4. (-2; 1) Правильный ответ: 2. (1; -2).