Решение двойного интеграла ∫∫_D (x - y + 1) dx dy

Решение задачи на вычисление двойного интеграла. Дано: Вычислить двойной интеграл \[ \iint_D (x - y + 1) dx dy \] где область \( D \) задана неравенствами: \( 0 \le x \le 1 \), \( x \le y \le 2x \). 1. Перейдем от двойного интеграла к повторному: \[ I = \int_{0}^{1} dx \int_{x}^{2x} (x - y + 1) dy \] 2. Вычислим внутренний интеграл по переменной \( y \): \[ \int_{x}^{2x} (x - y + 1) dy = \left[ xy - \frac{y^2}{2} + y \right]_{x}^{2x} \] Подставим верхний и нижний пределы: \[ = \left( x(2x) - \frac{(2x)^2}{2} + 2x \right) - \left( x(x) - \frac{x^2}{2} + x \right) \] \[ = (2x^2 - 2x^2 + 2x) - (x^2 - 0.5x^2 + x) \] \[ = 2x - (0.5x^2 + x) = x - 0.5x^2 \] 3. Теперь вычислим внешний интеграл по переменной \( x \): \[ I = \int_{0}^{1} (x - 0.5x^2) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{0.5x^3}{3} \right]_{0}^{1} \] \[ I = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{1} \] Подставим пределы: \[ I = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) - 0 = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] Сравним с вариантами ответов: 1. \( \frac{1}{3} \) 2. 1 3. 3 4. 5 Правильный ответ: 1. \( \frac{1}{3} \)