Вычисление двойного интеграла ∫∫D (x - y + 1) dx dy

Задание: Вычислить двойной интеграл \(\iint_D (x - y + 1) dx dy\), где область \(D\) задана неравенствами: \(0 \le x \le 1\), \(x \le y \le 2x\). Решение: Для вычисления двойного интеграла перейдем к повторному интегралу, используя заданные пределы интегрирования: \[ I = \int_{0}^{1} dx \int_{x}^{2x} (x - y + 1) dy \] Сначала вычислим внутренний интеграл по переменной \(y\), считая \(x\) константой: \[ \int_{x}^{2x} (x - y + 1) dy = \left[ xy - \frac{y^2}{2} + y \right]_{x}^{2x} \] Подставим верхний и нижний пределы: \[ \left( x(2x) - \frac{(2x)^2}{2} + 2x \right) - \left( x(x) - \frac{x^2}{2} + x \right) \] \[ = \left( 2x^2 - \frac{4x^2}{2} + 2x \right) - \left( x^2 - \frac{x^2}{2} + x \right) \] \[ = (2x^2 - 2x^2 + 2x) - \left( \frac{x^2}{2} + x \right) \] \[ = 2x - \frac{x^2}{2} - x = x - \frac{x^2}{2} \] Теперь вычислим внешний интеграл по переменной \(x\): \[ I = \int_{0}^{1} \left( x - \frac{x^2}{2} \right) dx \] \[ I = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{1} \] Подставим пределы: \[ I = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{6} \right) - (0 - 0) \] \[ I = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] Ответ: \(\frac{1}{3}\). В списке вариантов это соответствует номеру 1.