Решение задачи: Нахождение zxx'' в точке A(1,1)

Для решения этой задачи необходимо найти вторые частные производные функций по переменной \( x \) (обозначается \( z_{xx}'' \)) и вычислить их значения в точке \( A(1, 1) \). Напомним правила дифференцирования: \( (x^n)' = nx^{n-1} \). Рассчитаем для каждой функции: А) \( z = 4\sqrt{x}y + \frac{3}{x} + 5 = 4y \cdot x^{1/2} + 3x^{-1} + 5 \) Первая производная: \( z_x' = 4y \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 3x^{-2} = 2yx^{-1/2} - 3x^{-2} \) Вторая производная: \( z_{xx}'' = 2y \cdot (-\frac{1}{2})x^{-3/2} + 6x^{-3} = -yx^{-3/2} + 6x^{-3} \) В точке \( A(1, 1) \): \( z_{xx}''(1, 1) = -1 \cdot 1 + 6 \cdot 1 = 5 \). Соответствие: А — 1. В) \( z = 4\sqrt{y}x + \frac{3}{y} + 5 \) Первая производная: \( z_x' = 4\sqrt{y} \cdot 1 + 0 + 0 = 4\sqrt{y} \) Вторая производная: \( z_{xx}'' = 0 \) (так как \( 4\sqrt{y} \) не зависит от \( x \)). В точке \( A(1, 1) \): \( z_{xx}''(1, 1) = 0 \). Соответствие: В — 2. С) \( z = \frac{3y}{x} + \frac{3x}{y} - 1 = 3yx^{-1} + \frac{3}{y}x - 1 \) Первая производная: \( z_x' = -3yx^{-2} + \frac{3}{y} \) Вторая производная: \( z_{xx}'' = 6yx^{-3} \) В точке \( A(1, 1) \): \( z_{xx}''(1, 1) = 6 \cdot 1 \cdot 1 = 6 \). Соответствие: С — 4. D) \( z = \frac{3x}{y^2} + \frac{3y}{x^2} - 1 = \frac{3}{y^2}x + 3yx^{-2} - 1 \) Первая производная: \( z_x' = \frac{3}{y^2} - 6yx^{-3} \) Вторая производная: \( z_{xx}'' = 18yx^{-4} \) В точке \( A(1, 1) \): \( z_{xx}''(1, 1) = 18 \cdot 1 \cdot 1 = 18 \). Соответствие: D — 3. Итоговое соответствие: А — 1 В — 2 С — 4 D — 3