Якобиан функций x(u, v), y(u, v): Решение

Вопрос: Якобиан функций \(x = x(u, v)\), \(y = y(u, v)\) вычисляется по формуле: Решение: Якобиан (определитель Якоби) для системы двух функций двух переменных представляет собой определитель матрицы, составленной из частных производных этих функций. По определению, для функций \(x(u, v)\) и \(y(u, v)\) якобиан записывается следующим образом: \[J = \frac{D(x, y)}{D(u, v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}\] В краткой записи через штрихи это выглядит так: \[\begin{vmatrix} x'_u & x'_v \\ y'_u & y'_v \end{vmatrix}\] Сравним полученное выражение с предложенными вариантами: 1. В первом варианте первая строка содержит производные \(x\) по \(u\) и \(v\), а вторая строка — производные \(y\) по \(u\) и \(v\). Это в точности соответствует классическому определению якобиана. Ответ: 1. \(\begin{vmatrix} x'_u & x'_v \\ y'_u & y'_v \end{vmatrix}\)