Решение интеграла 3∫(x³-x²)dx от 0 до 2

Задание: Вычислить определенный интеграл \( 3 \int_{0}^{2} (x^3 - x^2) dx \). Решение: Для решения воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную функции, стоящей под знаком интеграла: \[ 3 \int_{0}^{2} (x^3 - x^2) dx = 3 \cdot \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \] Теперь подставим верхний предел интегрирования (\(x = 2\)) и нижний предел (\(x = 0\)): \[ 3 \cdot \left( \left( \frac{2^4}{4} - \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{0^4}{4} - \frac{0^3}{3} \right) \right) \] Выполним арифметические действия: \[ 3 \cdot \left( \frac{16}{4} - \frac{8}{3} \right) = 3 \cdot \left( 4 - \frac{8}{3} \right) \] Раскроем скобки, умножив каждое слагаемое на 3: \[ 3 \cdot 4 - 3 \cdot \frac{8}{3} = 12 - 8 = 4 \] Ответ: 4.