Решение определенного интеграла ∫(4x + 5) dx от -1 до 2

Задание: Вычислить определенный интеграл \(\int_{-1}^{2} (4x + 5) dx\). Решение: Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: \[\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)\] где \(F(x)\) — первообразная функции \(f(x)\). 1. Найдем первообразную для функции \(f(x) = 4x + 5\): \[F(x) = \int (4x + 5) dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x = 2x^2 + 5x\] 2. Применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования от \(-1\) до \(2\): \[\int_{-1}^{2} (4x + 5) dx = [2x^2 + 5x]_{-1}^{2}\] 3. Вычислим значение в верхнем пределе (\(x = 2\)): \[F(2) = 2 \cdot (2)^2 + 5 \cdot 2 = 2 \cdot 4 + 10 = 8 + 10 = 18\] 4. Вычислим значение в нижнем пределе (\(x = -1\)): \[F(-1) = 2 \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) = 2 \cdot 1 - 5 = 2 - 5 = -3\] 5. Найдем разность: \[F(2) - F(-1) = 18 - (-3) = 18 + 3 = 21\] Ответ: 21.