Решение криволинейного интеграла первого рода ∫AB x^2 dl, y = ln x

Для решения криволинейного интеграла первого рода воспользуемся формулой перехода к определенному интегралу. Дано: Кривая \( AB \): \( y = \ln x \), где \( 1 \le x \le e \). Интеграл: \( \int_{AB} x^2 dl \). 1. Найдем дифференциал длины дуги \( dl \): Формула: \( dl = \sqrt{1 + (y')^2} dx \). Вычислим производную: \( y' = (\ln x)' = \frac{1}{x} \). Тогда: \[ dl = \sqrt{1 + \left(\frac{1}{x}\right)^2} dx = \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} dx = \sqrt{\frac{x^2 + 1}{x^2}} dx = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} dx \] 2. Подставим \( dl \) в интеграл: \[ I = \int_{1}^{e} x^2 \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} dx = \int_{1}^{e} x \sqrt{x^2 + 1} dx \] 3. Вычислим полученный определенный интеграл методом замены переменной: Пусть \( u = x^2 + 1 \), тогда \( du = 2x dx \), откуда \( x dx = \frac{1}{2} du \). Изменим пределы интегрирования: Если \( x = 1 \), то \( u = 1^2 + 1 = 2 \). Если \( x = e \), то \( u = e^2 + 1 \). \[ I = \int_{2}^{e^2 + 1} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{2}^{e^2 + 1} u^{1/2} du \] \[ I = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{u^{3/2}}{3/2} \right) \Big|_{2}^{e^2 + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot u^{3/2} \Big|_{2}^{e^2 + 1} = \frac{1}{3} u^{3/2} \Big|_{2}^{e^2 + 1} \] 4. Подставим пределы: \[ I = \frac{1}{3} \left( (e^2 + 1)^{3/2} - 2^{3/2} \right) \] Так как \( 2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \), получаем: \[ I = \frac{1}{3} \left( (1 + e^2)^{3/2} - 2\sqrt{2} \right) \] Сравним с вариантами ответов: Данное выражение полностью соответствует варианту №3. Ответ: 3.