Решение: Исследование сходимости ряда Σ ln(n)/n

Задание: Исследуйте на сходимость ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n}\). Решение: Для исследования данного ряда воспользуемся признаком сравнения. 1. Рассмотрим общий член ряда: \[ a_n = \frac{\ln(n)}{n} \] 2. Известно, что для всех \(n \ge 3\) выполняется неравенство \(\ln(n) > 1\). 3. Следовательно, для \(n \ge 3\) справедливо неравенство: \[ \frac{\ln(n)}{n} > \frac{1}{n} \] 4. Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) является гармоническим рядом. Из курса математического анализа известно, что гармонический ряд расходится. 5. Согласно признаку сравнения, если общий член исследуемого ряда с положительными членами больше общего члена расходящегося ряда, то исследуемый ряд также расходится. Также можно воспользоваться интегральным признаком Коши. Функция \(f(x) = \frac{\ln(x)}{x}\) положительна и убывает при \(x > e\). Вычислим несобственный интеграл: \[ \int_{1}^{\infty} \frac{\ln(x)}{x} dx = \int_{1}^{\infty} \ln(x) d(\ln(x)) = \left[ \frac{\ln^2(x)}{2} \right]_{1}^{\infty} = \infty \] Так как интеграл расходится, то и ряд расходится. Ответ: расходится.