Решение задачи: Выбор метода интегрирования

Для ответа на этот вопрос проанализируем каждый из предложенных интегралов и определим наиболее подходящий метод их решения. 1. \( \int x \ln x dx \) Этот интеграл классически вычисляется методом интегрирования по частям, где за \( u \) принимается \( \ln x \), а за \( dv \) принимается \( x dx \). Замена переменной здесь не является основным методом. 2. \( \int \cos^3 x dx \) Этот интеграл удобно вычислять методом замены переменной. Его можно представить как \( \int \cos^2 x \cdot \cos x dx = \int (1 - \sin^2 x) d(\sin x) \). Здесь используется замена \( t = \sin x \). 3. \( \int x e^x dx \) Этот интеграл вычисляется методом интегрирования по частям (за \( u \) берется \( x \), за \( dv \) берется \( e^x dx \)). Замена переменной тут не поможет упростить выражение. 4. \( \int \cos^2 x \sin x dx \) Этот интеграл идеально подходит для метода замены переменной. Так как \( \sin x dx = -d(\cos x) \), мы можем сделать замену \( t = \cos x \). Тогда интеграл примет вид \( -\int t^2 dt \). Таким образом, методом замены переменных вычисляются второй и четвертый интегралы. Ответ: \[ \int \cos^3 x dx \] \[ \int \cos^2 x \sin x dx \]