Решение интеграла ∫(x³+8x+1)dx

Задание: Найти неопределенный интеграл \(\int (x^3 + 8x + 1) dx\). Решение: Для нахождения неопределенного интеграла воспользуемся свойствами линейности (интеграл суммы равен сумме интегралов) и табличной формулой для степенной функции \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\). Разложим интеграл на сумму трех интегралов: \[ \int (x^3 + 8x + 1) dx = \int x^3 dx + \int 8x dx + \int 1 dx \] Применим формулу интегрирования к каждому слагаемому: 1. Для первого слагаемого (\(n=3\)): \[ \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} \] 2. Для второго слагаемого (выносим константу 8, \(n=1\)): \[ \int 8x dx = 8 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 8 \cdot \frac{x^2}{2} = 4x^2 \] 3. Для третьего слагаемого (интеграл от константы): \[ \int 1 dx = x \] Сложим полученные результаты и добавим произвольную постоянную \(C\): \[ \frac{x^4}{4} + 4x^2 + x + C \] Сравним полученный результат с предложенными вариантами ответов: 1. \(\frac{x^4}{4} + 8x^2 + x + C\) 2. \(\frac{x^4}{4} + 4x^2 + 1 + C\) 3. \(\frac{x^4}{4} + x^2 + \frac{x}{2} + C\) 4. \(\frac{x^4}{4} + 4x^2 + x + C\) Правильный ответ находится под номером 4. Ответ: \(\frac{x^4}{4} + 4x^2 + x + C\) (вариант 4).