Решение:

Задание: Вычислить \(\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n}\), если задан числовой ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{5n^3 + 2n + 1}{4n^3 - n + 2} \right)^n\). Решение: Данный предел используется в радикальном признаке Коши для исследования сходимости ряда. Общий член ряда имеет вид: \[a_n = \left( \frac{5n^3 + 2n + 1}{4n^3 - n + 2} \right)^n\] Нам необходимо найти предел корня \(n\)-й степени из общего члена: \[\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\left( \frac{5n^3 + 2n + 1}{4n^3 - n + 2} \right)^n}\] При извлечении корня степень \(n\) сокращается: \[\lim_{n \to +\infty} \frac{5n^3 + 2n + 1}{4n^3 - n + 2}\] Для вычисления предела рациональной дроби при \(n \to \infty\), разделим числитель и знаменатель на старшую степень \(n\), то есть на \(n^3\): \[\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{5n^3}{n^3} + \frac{2n}{n^3} + \frac{1}{n^3}}{\frac{4n^3}{n^3} - \frac{n}{n^3} + \frac{2}{n^3}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{5 + \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^3}}{4 - \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^3}}\] Так как при \(n \to \infty\) величины \(\frac{2}{n^2}\), \(\frac{1}{n^3}\), \(\frac{1}{n^2}\) и \(\frac{2}{n^3}\) стремятся к нулю, получаем: \[\frac{5 + 0 + 0}{4 - 0 + 0} = \frac{5}{4}\] (Заметим, что так как \(\frac{5}{4} > 1\), согласно признаку Коши, данный ряд расходится). Ответ: 5/4