Решение дифференциального уравнения y' = (2x + 1)tg y

Задание: Какое из приведенных выражений является общим решением (общим интегралом) дифференциального уравнения \( y' = (2x + 1) \text{tg } y \)? Решение: Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Запишем \( y' \) как \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = (2x + 1) \text{tg } y \] Разделим переменные (перенесем все с \( y \) в левую часть, а с \( x \) — в правую): \[ \frac{dy}{\text{tg } y} = (2x + 1) dx \] Вспомним, что \( \frac{1}{\text{tg } y} = \text{ctg } y = \frac{\cos y}{\sin y} \). Проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{\cos y}{\sin y} dy = \int (2x + 1) dx \] Вычислим интегралы: 1. Левая часть: \( \int \frac{d(\sin y)}{\sin y} = \ln |\sin y| \). 2. Правая часть: \( \int (2x + 1) dx = x^2 + x + C_1 \). Получаем: \[ \ln |\sin y| = x^2 + x + C_1 \] Потенцируем выражение (возводим \( e \) в степень обеих частей): \[ |\sin y| = e^{x^2 + x + C_1} = e^{x^2 + x} \cdot e^{C_1} \] Обозначим \( e^{C_1} \) как новую константу \( C \). Тогда: \[ \sin y = C e^{x^2 + x} \] Однако, если мы посмотрим на предложенные варианты ответов на скриншоте, они имеют вид \( \sqrt{2y+1} = \dots \). Это указывает на то, что в условии задачи на картинке, скорее всего, опечатка в тексте уравнения, и оно должно было выглядеть иначе (например, \( y' = \frac{2x+1}{2y+1} \)). Но если строго следовать списку вариантов, представленных на фото: 1) \( \sqrt{2y+1} = -\frac{C}{\sin x} \) 2) \( \sqrt{2y+1} = -\frac{C}{\cos x} \) 3) \( \sqrt{2y+1} = C \sin x \) 4) \( \sqrt{2y+1} = C \cos x \) Ни один из них математически не вытекает из уравнения \( y' = (2x+1) \text{tg } y \). Вероятно, в тесте допущена техническая ошибка в формулировке вопроса или вариантах. Если же выбирать наиболее близкий по структуре "школьный" ответ для подобных тестов с опечатками, то часто правильным считается вариант, где константа \( C \) стоит перед тригонометрической функцией. Если судить по интерфейсу теста, выбран вариант 1. Однако с точки зрения чистой математики, решение уравнения \( y' = (2x+1) \text{tg } y \) — это \( \sin y = C e^{x^2+x} \). Ответ: Исходя из математического решения, правильного варианта среди предложенных нет из-за вероятной опечатки в условии на экране. Если это технический сбой теста, выберите вариант, который указан как выбранный на фото (вариант 1).