Решение: Вычисление якобиана для заданных функций

Решение задачи: Даны функции: \[ x = -\frac{3}{4}u + \frac{3}{4}v \] \[ y = \frac{1}{4}u + \frac{3}{4}v \] Якобиан (определитель Якоби) для системы двух функций от двух переменных вычисляется по формуле: \[ J = \frac{D(x, y)}{D(u, v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \] 1. Найдем частные производные функции \(x\): \[ \frac{\partial x}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u} \left( -\frac{3}{4}u + \frac{3}{4}v \right) = -\frac{3}{4} \] \[ \frac{\partial x}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v} \left( -\frac{3}{4}u + \frac{3}{4}v \right) = \frac{3}{4} \] 2. Найдем частные производные функции \(y\): \[ \frac{\partial y}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{1}{4}u + \frac{3}{4}v \right) = \frac{1}{4} \] \[ \frac{\partial y}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{1}{4}u + \frac{3}{4}v \right) = \frac{3}{4} \] 3. Вычислим определитель: \[ J = \begin{vmatrix} -\frac{3}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{vmatrix} = \left( -\frac{3}{4} \right) \cdot \left( \frac{3}{4} \right) - \left( \frac{3}{4} \right) \cdot \left( \frac{1}{4} \right) \] \[ J = -\frac{9}{16} - \frac{3}{16} = -\frac{12}{16} \] 4. Сократим дробь на 4: \[ J = -\frac{3}{4} \] Ответ: Якобиан равен \( -\frac{3}{4} \). В списке вариантов это вариант под номером 1.