Решение интеграла ∫(x^2 + 5x + 7) dx

Задание: Найти неопределенный интеграл \(\int (x^2 + 5x + 7) dx\). Решение: Для нахождения неопределенного интеграла от суммы функций воспользуемся свойством линейности (интеграл суммы равен сумме интегралов) и табличной формулой для степенной функции: \[\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\] Применим это к каждому слагаемому: 1. Интеграл от \(x^2\): \[\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}\] 2. Интеграл от \(5x\): \[\int 5x dx = 5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{5x^2}{2}\] 3. Интеграл от константы \(7\): \[\int 7 dx = 7x\] Сложим полученные результаты и добавим произвольную постоянную \(C\): \[\int (x^2 + 5x + 7) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 7x + C\] Сравним полученный результат с предложенными вариантами ответов: - Первый вариант: \(x^3 + \frac{5x^2}{2} + 7x + C\) (неверно, пропущено деление на 3 у первого слагаемого). - Второй вариант: \(\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 7x + C\) (верно). - Третий вариант: \(x^3 + \frac{5x^2}{2} + 7 + C\) (неверно). - Четвертый вариант: \(\frac{x^3}{3} + 5x^2 + 7x + C\) (неверно). Ответ: Второй вариант (\(\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 7x + C\)).