Решение задачи: Интегрирование по частям

Для решения данной задачи необходимо вспомнить формулу интегрирования по частям: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Этот метод обычно применяется, когда подынтегральное выражение представляет собой произведение функций разных типов (например, многочлена на экспоненту, тригонометрическую или логарифмическую функцию). Разберем каждый предложенный вариант: 1. \( \int x e^x \, dx \) Здесь произведение многочлена \( x \) и показательной функции \( e^x \). Это классический пример для интегрирования по частям, где принимают \( u = x \), а \( dv = e^x dx \). 2. \( \int x \text{arctg} x \, dx \) Здесь произведение многочлена \( x \) и обратной тригонометрической функции. Метод интегрирования по частям здесь необходим: принимают \( u = \text{arctg} x \), а \( dv = x dx \). 3. \( \int x \ln(3x) \, dx \) Здесь произведение многочлена \( x \) и логарифмической функции. Также используется интегрирование по частям: принимают \( u = \ln(3x) \), а \( dv = x dx \). 4. \( \int \text{arcsin} x \, dx \) Хотя здесь нет явного произведения, этот интеграл вычисляется именно по частям. Подынтегральное выражение представляют как \( \text{arcsin} x \cdot 1 \), где принимают \( u = \text{arcsin} x \), а \( dv = dx \). Ответ: Все перечисленные интегралы вычисляются с помощью метода интегрирования по частям. Необходимо отметить все четыре варианта: \[ \int x e^x \, dx \] \[ \int x \text{arctg} x \, dx \] \[ \int x \ln(3x) \, dx \] \[ \int \text{arcsin} x \, dx \]