Решение задачи: Найти интервал выпуклости функции y = x(x - 1)^3

Задание: Найти интервал выпуклости графика функции \( y = x(x - 1)^3 \). Решение: Для определения интервалов выпуклости (выпуклости вверх) функции необходимо найти её вторую производную и определить, где она отрицательна \( (y'' < 0) \). 1. Найдем первую производную функции \( y = x(x - 1)^3 \), используя правило производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \): \[ y' = (x)' \cdot (x - 1)^3 + x \cdot ((x - 1)^3)' \] \[ y' = 1 \cdot (x - 1)^3 + x \cdot 3(x - 1)^2 \cdot 1 \] \[ y' = (x - 1)^3 + 3x(x - 1)^2 \] Вынесем общий множитель \( (x - 1)^2 \) за скобки: \[ y' = (x - 1)^2 \cdot (x - 1 + 3x) = (x - 1)^2 (4x - 1) \] 2. Найдем вторую производную \( y'' \), дифференцируя полученное выражение \( y' = (x - 1)^2 (4x - 1) \): \[ y'' = ((x - 1)^2)' \cdot (4x - 1) + (x - 1)^2 \cdot (4x - 1)' \] \[ y'' = 2(x - 1) \cdot 1 \cdot (4x - 1) + (x - 1)^2 \cdot 4 \] Вынесем общий множитель \( 2(x - 1) \) за скобки: \[ y'' = 2(x - 1) \cdot [ (4x - 1) + 2(x - 1) ] \] \[ y'' = 2(x - 1) \cdot (4x - 1 + 2x - 2) \] \[ y'' = 2(x - 1)(6x - 3) \] Вынесем 3 из второй скобки: \[ y'' = 6(x - 1)(2x - 1) \] 3. Определим интервалы выпуклости. График функции выпуклый (вверх), когда \( y'' < 0 \): \[ 6(x - 1)(2x - 1) < 0 \] Корни выражения: \( x = 1 \) и \( x = 1/2 \). Рассмотрим знаки на интервалах: - На \( (-\infty; 1/2) \): \( y'' > 0 \) (вогнутость/выпуклость вниз) - На \( (1/2; 1) \): \( y'' < 0 \) (выпуклость/выпуклость вверх) - На \( (1; +\infty) \): \( y'' > 0 \) (вогнутость/выпуклость вниз) Таким образом, интервал выпуклости: \( x \in (1/2; 1) \). Ответ: \( x \in (1/2; 1) \) (четвертый вариант в списке).