Решение: Радиус сходимости степенного ряда ∑ nxⁿ / (3ⁿ(n+1))

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n x^n}{3^n (n+1)} \) воспользуемся формулой Даламбера. 1. Выпишем коэффициент ряда \( a_n \): \[ a_n = \frac{n}{3^n (n+1)} \] 2. Запишем выражение для следующего коэффициента \( a_{n+1} \): \[ a_{n+1} = \frac{n+1}{3^{n+1} (n+2)} \] 3. Радиус сходимости \( R \) вычисляется по формуле: \[ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \] 4. Подставим наши коэффициенты в предел: \[ R = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{3^n (n+1)} \cdot \frac{3^{n+1} (n+2)}{n+1} \right) \] 5. Упростим выражение под пределом: \[ R = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n \cdot 3^n \cdot 3 \cdot (n+2)}{3^n \cdot (n+1) \cdot (n+1)} \right) \] Сокращаем на \( 3^n \): \[ R = 3 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} = 3 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n}{n^2 + 2n + 1} \] 6. Вычислим предел, разделив числитель и знаменатель на \( n^2 \): \[ R = 3 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}} = 3 \cdot \frac{1 + 0}{1 + 0 + 0} = 3 \cdot 1 = 3 \] Таким образом, радиус сходимости данного степенного ряда равен 3. Ответ: 3.