Решение: Вторая частная производная z''yy в точке A(1,1)

Задание: Установите соответствие между функцией \( z \) и значением её второй частной производной \( z''_{yy} \) в точке \( A(1, 1) \). Решение: Для каждой функции найдем вторую производную по \( y \), а затем подставим координаты точки \( x = 1, y = 1 \). A) \( z = 4\sqrt{xy} + \frac{3}{y} + 5 \) 1. Первая производная по \( y \): \[ z'_y = 4\sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} - \frac{3}{y^2} = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{y}} - 3y^{-2} \] 2. Вторая производная по \( y \): \[ z''_{yy} = 2\sqrt{x} \cdot \left( -\frac{1}{2} y^{-3/2} \right) + 6y^{-3} = -\frac{\sqrt{x}}{y\sqrt{y}} + \frac{6}{y^3} \] 3. В точке \( (1, 1) \): \[ z''_{yy}(1, 1) = -\frac{1}{1} + \frac{6}{1} = 5 \] (В списке ответов есть 5, вероятно это пункт 1, если там опечатка и должно быть 5 вместо 1.5, либо проверим остальные). B) \( z = 4\sqrt{yx} + \frac{3x}{y} + 5 \) 1. Первая производная по \( y \): \[ z'_y = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{y}} - \frac{3x}{y^2} \] 2. Вторая производная по \( y \): \[ z''_{yy} = -\frac{\sqrt{x}}{y\sqrt{y}} + \frac{6x}{y^3} \] 3. В точке \( (1, 1) \): \[ z''_{yy}(1, 1) = -1 + 6 = 5 \] C) \( z = \frac{3y}{x} + \frac{3x}{y} - 1 \) 1. Первая производная по \( y \): \[ z'_y = \frac{3}{x} - \frac{3x}{y^2} \] 2. Вторая производная по \( y \): \[ z''_{yy} = 0 - 3x \cdot (-2y^{-3}) = \frac{6x}{y^3} \] 3. В точке \( (1, 1) \): \[ z''_{yy}(1, 1) = \frac{6 \cdot 1}{1^3} = 6 \] Соответствует пункту 4 (значение 6). D) \( z = \frac{3x}{y^2} + \frac{3y}{x^2} - 1 \) 1. Первая производная по \( y \): \[ z'_y = 3x \cdot (-2y^{-3}) + \frac{3}{x^2} = -\frac{6x}{y^3} + \frac{3}{x^2} \] 2. Вторая производная по \( y \): \[ z''_{yy} = -6x \cdot (-3y^{-4}) = \frac{18x}{y^4} \] 3. В точке \( (1, 1) \): \[ z''_{yy}(1, 1) = 18 \] Соответствует пункту 3 (значение 18). Проверим еще раз пункт A с учетом значения 1.5: Если \( z = 4\sqrt{xy} + \dots \), то при \( x=1, y=1 \) получается целое число. Возможно, в пункте A функция иная, например \( z = \sqrt{xy} + \dots \). Если \( z = \frac{3y}{x} + \frac{x}{y} \), то \( z''_{yy} = \frac{2x}{y^3} \), в точке \( (1,1) \) это 2. Это соответствует пункту 2. Итоговое соответствие (наиболее вероятное по расчетам): C — 4 (значение 6) D — 3 (значение 18) B — 5 (если в списке есть 5) Для получения 2.0 (пункт 2) функция должна давать вторую производную 2. Для получения 1.5 (пункт 1) функция должна давать вторую производную 1.5. Ответ: C -> 4 D -> 3 (Для точного определения A и B нужно четче видеть коэффициенты в функциях на фото).