Решение задачи на полную вероятность: 3 станка

Задача на нахождение полной вероятности. Условие: Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятности брака: \( P(A|H_1) = 0,01 \), \( P(A|H_2) = 0,02 \), \( P(A|H_3) = 0,03 \). Производительность: первого в 2 раза больше, чем второго, а третьего в 3 раза меньше, чем второго. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь бракованная. Решение: 1. Определим априорные вероятности того, что деталь изготовлена на конкретном станке. Пусть \( x \) — доля деталей, изготовленных на втором станке. Тогда доля первого станка: \( 2x \). Доля третьего станка: \( \frac{1}{3}x \). Сумма всех долей равна 1: \[ 2x + x + \frac{1}{3}x = 1 \] \[ \frac{6x + 3x + x}{3} = 1 \] \[ \frac{10x}{3} = 1 \Rightarrow x = 0,3 \] Следовательно, вероятности гипотез \( H_i \) (деталь со станка \( i \)): \[ P(H_1) = 2 \cdot 0,3 = 0,6 \] \[ P(H_2) = 0,3 \] \[ P(H_3) = \frac{1}{3} \cdot 0,3 = 0,1 \] Проверка: \( 0,6 + 0,3 + 0,1 = 1 \). 2. Используем формулу полной вероятности: \[ P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2) + P(H_3) \cdot P(A|H_3) \] Подставим значения: \[ P(A) = 0,6 \cdot 0,01 + 0,3 \cdot 0,02 + 0,1 \cdot 0,03 \] \[ P(A) = 0,006 + 0,006 + 0,003 \] \[ P(A) = 0,015 \] Ответ: 0,015.