Решение задачи: Выбор 5 учеников из 21 (Комбинаторика)

Для решения этой задачи воспользуемся формулой комбинаторики для сочетаний. Поскольку порядок выбора учеников не имеет значения (нам просто нужно выбрать группу из 5 человек), мы используем формулу числа сочетаний из \( n \) по \( k \): \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] В данной задаче: \( n = 21 \) (всего учеников) \( k = 5 \) (нужно выбрать) Подставим значения в формулу: \[ C_{21}^5 = \frac{21!}{5!(21-5)!} = \frac{21!}{5! \cdot 16!} \] Распишем факториалы, чтобы сократить дробь: \[ C_{21}^5 = \frac{21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16!}{ (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 16!} \] Сокращаем на \( 16! \): \[ C_{21}^5 = \frac{21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \] Проведем сокращения в знаменателе и числителе: \( 5 \cdot 4 = 20 \) (сокращается с 20 в числителе) \( 3 \cdot 2 = 6 \) (18 разделить на 6 будет 3) Остается: \[ C_{21}^5 = 21 \cdot 19 \cdot 3 \cdot 17 \] Выполним умножение: 1. \( 21 \cdot 19 = 399 \) 2. \( 3 \cdot 17 = 51 \) 3. \( 399 \cdot 51 = 20349 \) Ответ: 20349 способов.