Решение дифференциального уравнения y' = 3 + tg(√y/x)

Задание: Дифференциальное уравнение \(y' = 3 + \text{tg} \sqrt{\frac{y}{x}}\) решается: Решение: Для определения метода решения проанализируем вид уравнения. Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Уравнение вида \(y' = f(x, y)\) называется однородным, если функцию \(f(x, y)\) можно представить как функцию от отношения переменных, то есть \(f\left(\frac{y}{x}\right)\). В нашем случае правая часть уравнения: \[f(x, y) = 3 + \text{tg} \sqrt{\frac{y}{x}}\] явно зависит только от отношения \(\frac{y}{x}\). Стандартным методом решения таких уравнений является введение новой функции \(u\), зависящей от \(x\), с помощью подстановки: \[u = \frac{y}{x} \implies y = ux\] При такой подстановке производная \(y'\) заменяется на: \[y' = u'x + u\] что позволяет разделить переменные и решить уравнение относительно \(u\). Рассмотрим предложенные варианты: 1) Подстановка \(y = uv\) используется для линейных неоднородных уравнений (метод Бернулли). 2) Подстановка \(y = ux\) используется для однородных уравнений. 3) Подстановка \(u = y^{1-n}\) используется для уравнения Бернулли. 4) Разделение переменных напрямую здесь невозможно без предварительной замены. Ответ: 2) подстановкой \(y = ux\).