Решение интеграла ∫(3x³+5x+1)dx

Для нахождения неопределенного интеграла воспользуемся свойствами линейности и основной таблицей интегралов. Дано: \[ \int (3x^3 + 5x + 1) dx \] 1. Используем свойство интеграла от суммы функций: \[ \int (3x^3 + 5x + 1) dx = \int 3x^3 dx + \int 5x dx + \int 1 dx \] 2. Вынесем постоянные множители за знак интеграла: \[ 3 \int x^3 dx + 5 \int x dx + \int dx \] 3. Применим табличную формулу для степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \): Для \( x^3 \): \( \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} \) Для \( x^1 \): \( \int x dx = \frac{x^2}{2} \) Для константы: \( \int dx = x \) 4. Собираем всё вместе и добавляем произвольную постоянную \( C \): \[ 3 \cdot \frac{x^4}{4} + 5 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C \] \[ \frac{3x^4}{4} + \frac{5x^2}{2} + x + C \] Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, выбираем третий вариант. Ответ: \[ \frac{3x^4}{4} + \frac{5x^2}{2} + x + C \]