Решение задачи: Вычисление суммы ряда ∑n/2^n

Задание: Вычислить сумму ряда \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} \] Решение: Для решения воспользуемся методом дифференцирования степенного ряда. Рассмотрим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию при \( |x| < 1 \): \[ \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \] Продифференцируем обе части этого равенства по \( x \): \[ \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1-x} \right) \] \[ \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2} \] Чтобы получить выражение, похожее на наш ряд, умножим обе части на \( x \): \[ \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \] В нашем случае общий член ряда имеет вид \( \frac{n}{2^n} \), что соответствует значению \( x = \frac{1}{2} \). Подставим это значение в формулу: \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{(1 - \frac{1}{2})^2} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{(\frac{1}{2})^2} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \] Ответ: 2