Производная сложной функции z'_t: решение

Задание: Если \(z = z(x, y)\), где \(x = x(t)\) и \(y = y(t)\), то по какой формуле находится производная \(z'_t\)? Решение: В данной задаче \(z\) является сложной функцией одной независимой переменной \(t\). Чтобы найти производную сложной функции нескольких переменных, необходимо использовать правило дифференцирования, которое гласит: полная производная функции по переменной \(t\) равна сумме произведений частных производных этой функции по промежуточным аргументам (\(x\) и \(y\)) на производные этих аргументов по переменной \(t\). Математически это записывается так: \[z'_t = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}\] В обозначениях, приведенных в вариантах ответов, это выглядит следующим образом: \[z'_t = z'_x \cdot x'_t + z'_y \cdot y'_t\] Проанализируем варианты: 1. \(z'_t = z'_x x'_t + z'_y y'_t\) — полностью соответствует правилу дифференцирования сложной функции. 2. \(z'_t = z'_x x'_u + z'_y y'_u\) — неверно, так как в условии нет переменной \(u\). 3. \(z'_t = z'_x x'_v + z'_y y'_v\) — неверно, так как в условии нет переменной \(v\). 4. \(z'_t = x'_z t'_x + y'_z t'_y\) — неверно, перепутаны индексы и порядок дифференцирования. Ответ: 1. \(z'_t = z'_x x'_t + z'_y y'_t\)