Решение интеграла ∫x/(x^4-16)dx

Для решения этой задачи необходимо найти первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) \), которая соответствует общему члену ряда, заменив \( n \) на \( x \). Дана функция: \[ f(x) = \frac{x}{x^4 - 16} \] Чтобы найти первообразную, вычислим неопределенный интеграл: \[ F(x) = \int \frac{x}{x^4 - 16} dx \] 1. Заметим, что \( x^4 = (x^2)^2 \). Сделаем замену переменной: Пусть \( t = x^2 \), тогда \( dt = 2x \, dx \), следовательно \( x \, dx = \frac{1}{2} dt \). 2. Подставим замену в интеграл: \[ F(x) = \int \frac{1/2}{t^2 - 16} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t^2 - 4^2} dt \] 3. Используем табличную формулу для интегрирования дроби вида \( \frac{1}{t^2 - a^2} \): \[ \int \frac{dt}{t^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{t - a}{t + a} \right| + C \] В нашем случае \( a = 4 \). 4. Вычисляем: \[ F(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2 \cdot 4} \ln \left| \frac{t - 4}{t + 4} \right| \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} \ln \left| \frac{t - 4}{t + 4} \right| = \frac{1}{16} \ln \left| \frac{t - 4}{t + 4} \right| \] 5. Возвращаемся к переменной \( x \), подставляя \( t = x^2 \): \[ F(x) = \frac{1}{16} \ln \left| \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} \right| \] Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами ответов, видим, что он совпадает со вторым вариантом. Ответ: \( F(x) = \frac{1}{16} \ln \left| \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} \right| \) (второй вариант в списке).